Line data Source code
1 : !!****m* ABINIT/m_gaussian_quadrature
2 : !! NAME
3 : !! m_gaussian_quadrature
4 : !!
5 : !! FUNCTION
6 : !! .
7 : !!
8 : !! COPYRIGHT
9 : !! Copyright (C) 2009-2026 ABINIT group (JLJ, BR, MC)
10 : !! This file is distributed under the terms of the
11 : !! GNU General Public License, see ~abinit/COPYING
12 : !! or http://www.gnu.org/copyleft/gpl.txt .
13 : !!
14 : !! SOURCE
15 :
16 : #if defined HAVE_CONFIG_H
17 : #include "config.h"
18 : #endif
19 :
20 : #include "abi_common.h"
21 :
22 : module m_gaussian_quadrature
23 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
24 : !
25 : ! This module contains routines to generate the weights and positions at which to evaluate
26 : ! an integrand in order to produce a Gaussian quadrature of a given type.
27 : !
28 : ! The code here was obtained from the internet (see header to subroutine cdgqf for further details).
29 : ! The code was slightly modified to use doubles instead of floats in order to reach greater
30 : ! accuracy.
31 : !
32 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
33 :
34 : use m_abicore
35 : use m_errors
36 :
37 : use defs_basis, only : dp, tol20, std_out
38 : use m_io_tools, only : open_file
39 :
40 : implicit none
41 :
42 : private
43 : !!***
44 :
45 : !!***
46 : public :: gaussian_quadrature_gegenbauer, gaussian_quadrature_legendre
47 : public :: get_frequencies_and_weights_legendre
48 : public :: cgqf
49 : !!***
50 :
51 : contains
52 :
53 :
54 : !!****f* m_hamiltonian/gaussian_quadrature_gegenbauer
55 : !! NAME
56 : !! gaussian_quadrature_gegenbauer
57 : !!
58 : !! FUNCTION
59 : !! .
60 : !!
61 : !! INPUTS
62 : !!
63 : !! OUTPUT
64 : !!
65 : !! SOURCE
66 :
67 0 : subroutine gaussian_quadrature_gegenbauer(integrand,integral,order)
68 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
69 : !
70 : ! This subroutine performs a gaussian quadrature of given order of the input function integrand
71 : ! and stores the result in the variable integral.
72 : !
73 : ! The integrand function is assumed to be defined on the range from 0 to infinity, and it is
74 : ! assumed to to behave as x^2 near x=0, and 1/x^4 as x-> infinity.
75 : !
76 : ! The Gegenbauer integration method is of the form:
77 : !
78 : ! int_{-1}^{1} dt (1-t)^2(1+t)^2 f(t) = sum_{i} w_i f(t_i)
79 : !
80 : !
81 : ! In order to perform such an integral, make a change of variable x = (1-t)/(1+t); this implies
82 : !
83 : ! int_0^infty dx I(x) = int_{-1}^{1} dt g(t), g(t) = 2/(1+t)^2 I((1-t)/(1+t))
84 : !
85 : ! It is easy to show that g(1-delta) ~ delta^2 and g(-1+delta) ~ delta^2 for delta small.
86 : ! Thus, we can define
87 : !
88 : ! int_{-1}^{1} dt g(t) = int_{-1}^{1} dt (1+t)^2(1-t)^2 f(t), f(t) = g(t)/(1-t^2)^2
89 : !
90 : !
91 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
92 :
93 :
94 : ! input and output variables
95 : integer, intent(in) :: order
96 :
97 : interface
98 : function integrand(x)
99 : integer, parameter :: dp=kind(1.0d0)
100 : real(dp) integrand
101 : real(dp),intent(in) :: x
102 : end function integrand
103 : end interface
104 :
105 : real(dp), intent(out) :: integral
106 :
107 :
108 0 : real(dp) :: t(order), w(order)
109 :
110 :
111 : integer :: i
112 :
113 : integer :: gaussian_kind
114 : real(dp) :: alpha, beta, a, b
115 : real(dp) :: x, y, f
116 :
117 : ! *************************************************************************
118 :
119 :
120 : ! Set the arguments and weights
121 0 : gaussian_kind = 3
122 0 : alpha= 2.0_dp
123 0 : beta = 2.0_dp
124 0 : a = -1.0_dp
125 0 : b = 1.0_dp
126 0 : call cgqf ( order, gaussian_kind, alpha, beta, a, b, t, w )
127 :
128 :
129 :
130 : ! call the integrant the right number of times
131 :
132 0 : integral = 0.0_dp
133 :
134 0 : do i = 1, order
135 0 : x = (1.0_dp-t(i))/(1.0_dp+t(i))
136 :
137 0 : y = integrand(x)
138 :
139 0 : f = 2.0_dp/(1.0_dp+t(i))**2/(1.0_dp-t(i)**2)**2*y
140 :
141 0 : integral = integral + w(i)*f
142 :
143 : end do ! i
144 :
145 0 : end subroutine gaussian_quadrature_gegenbauer
146 : !!***
147 :
148 : !!****f* m_hamiltonian/gaussian_quadrature_legendre
149 : !! NAME
150 : !! gaussian_quadrature_legendre
151 : !!
152 : !! FUNCTION
153 : !! .
154 : !!
155 : !! INPUTS
156 : !!
157 : !! OUTPUT
158 : !!
159 : !! SOURCE
160 :
161 0 : subroutine gaussian_quadrature_legendre(integrand,integral,order)
162 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
163 : !
164 : ! This subroutine performs a gaussian quadrature of given order of the input function integrand
165 : ! and stores the result in the variable integral.
166 : !
167 : ! The integrand function is assumed to be defined on the range from 0 to infinity, and it is
168 : ! assumed to to behave as x^2 near x=0, and 1/x^4 as x-> infinity.
169 : !
170 : ! The Legendre integration method is of the form:
171 : !
172 : ! int_{-1}^{1} dt f(t) = sum_{i} w_i f(t_i)
173 : !
174 : !
175 : ! In order to perform such an integral, make a change of variable x = (1-t)/(1+t); this implies
176 : !
177 : ! int_0^infty dx I(x) = int_{-1}^{1} dt f(t), f(t) = 2/(1+t)^2 I((1-t)/(1+t))
178 : !
179 : !
180 : !
181 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
182 :
183 :
184 : ! input and output variables
185 : integer, intent(in) :: order
186 :
187 : interface
188 : function integrand(x)
189 : integer, parameter :: dp=kind(1.0d0)
190 : real(dp) integrand
191 : real(dp),intent(in) :: x
192 : end function integrand
193 : end interface
194 :
195 : real(dp), intent(out) :: integral
196 :
197 :
198 0 : real(dp) :: t(order), w(order)
199 :
200 :
201 : integer :: i
202 :
203 : integer :: gaussian_kind
204 : real(dp) :: alpha, beta, a, b
205 : real(dp) :: x, y, f
206 :
207 : ! *************************************************************************
208 :
209 :
210 : ! Set the arguments and weights
211 0 : gaussian_kind = 1
212 0 : alpha= 0.0_dp
213 0 : beta = 0.0_dp
214 0 : a = -1.0_dp
215 0 : b = 1.0_dp
216 0 : call cgqf ( order, gaussian_kind, alpha, beta, a, b, t, w )
217 :
218 :
219 :
220 : ! call the integrant the right number of times
221 :
222 0 : integral = 0.0_dp
223 :
224 0 : do i = 1, order
225 0 : x = (1.0_dp-t(i))/(1.0_dp+t(i))
226 :
227 0 : y = integrand(x)
228 :
229 0 : f = 2.0_dp/(1.0_dp+t(i))**2*y
230 :
231 0 : integral = integral + w(i)*f
232 :
233 : end do ! i
234 :
235 0 : end subroutine gaussian_quadrature_legendre
236 : !!***
237 :
238 :
239 : !!****f* m_hamiltonian/get_frequencies_and_weights_legendre
240 : !! NAME
241 : !! get_frequencies_and_weights_legendre
242 : !!
243 : !! FUNCTION
244 : !! .
245 : !!
246 : !! INPUTS
247 : !!
248 : !! OUTPUT
249 : !!
250 : !! SOURCE
251 :
252 7 : subroutine get_frequencies_and_weights_legendre(order,frequencies,weights)
253 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
254 : !
255 : ! This subroutine generates the frequencies and weights to integrate using legendre Gaussian
256 : ! quadrature for a given order.
257 : !
258 : ! The integrand function is assumed to be defined on the range from 0 to infinity, and it is
259 : ! assumed to to behave as x^2 near x=0, and 1/x^4 as x-> infinity.
260 : !
261 : ! The Legendre integration method is of the form:
262 : !
263 : ! int_{-1}^{1} dt f(t) = sum_{i} w_i f(t_i)
264 : !
265 : ! In order to perform such an integral, make a change of variable
266 : !
267 : ! omega = (1-t)/(1+t)
268 : !
269 : ! and thus
270 : ! int_0^infty domega I(omega) = int_{-1}^{1} dt f(t), f(t) = 2/(1+t)^2 I((1-t)/(1+t))
271 : !
272 : ! and so the weights are defined as weights(i) = 2/(1+ti)^2*wi.
273 : !
274 : !
275 : !----------------------------------------------------------------------------------------------------
276 : ! input and output variables
277 : integer, intent(in) :: order
278 : real(dp), intent(out) :: frequencies(order)
279 : real(dp), intent(out) :: weights(order)
280 :
281 :
282 14 : real(dp) :: t(order), w(order)
283 :
284 :
285 : integer :: i
286 :
287 : integer :: gaussian_kind
288 : real(dp) :: alpha, beta, a, b
289 : real(dp) :: x, f
290 :
291 : ! *************************************************************************
292 :
293 :
294 : ! Set the arguments and weights
295 7 : gaussian_kind = 1
296 7 : alpha = 0.0_dp
297 7 : beta = 0.0_dp
298 7 : a = -1.0_dp
299 7 : b = 1.0_dp
300 :
301 7 : call cgqf ( order, gaussian_kind, alpha, beta, a, b, t, w )
302 :
303 :
304 : ! call the integrant the right number of times
305 :
306 77 : do i = 1, order
307 :
308 70 : x = (1.0_dp-t(i))/(1.0_dp+t(i))
309 70 : f = 2.0_dp/(1.0_dp+t(i))**2
310 :
311 70 : frequencies(i) = x
312 77 : weights(i) = w(i)*f
313 :
314 : end do ! i
315 :
316 7 : end subroutine get_frequencies_and_weights_legendre
317 : !!***
318 :
319 : !!****f* m_hamiltonian/cdgqf
320 : !! NAME
321 : !! cdgqf
322 : !!
323 : !! FUNCTION
324 : !! .
325 : !!
326 : !! INPUTS
327 : !!
328 : !! OUTPUT
329 : !!
330 : !! SOURCE
331 :
332 49 : subroutine cdgqf ( nt, gaussian_kind, alpha, beta, t, wts )
333 :
334 : !*****************************************************************************80
335 : !
336 : !! CDGQF computes a Gauss quadrature formula with default A, B and simple knots.
337 : !
338 : ! Discussion:
339 : !
340 : ! This routine computes all the knots and weights of a Gauss quadrature
341 : ! formula with a classical weight function with default values for A and B,
342 : ! and only simple knots.
343 : !
344 : ! There are no moments checks and no printing is done.
345 : !
346 : ! Use routine EIQFS to evaluate a quadrature computed by CGQFS.
347 : !
348 : ! Licensing:
349 : !
350 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
351 : !
352 : ! Modified:
353 : !
354 : ! 04 January 2010
355 : !
356 : ! Author:
357 : !
358 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
359 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
360 : !
361 : ! Reference:
362 : !
363 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
364 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
365 : ! Interpolatory Quadrature,
366 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
367 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
368 : !
369 : ! Parameters:
370 : !
371 : ! Input, integer ( kind = 4 ) NT, the number of knots.
372 : !
373 : ! Input, integer ( kind = 4 ) KIND, the rule.
374 : ! 1, Legendre, (a,b) 1.0
375 : ! 2, Chebyshev, (a,b) ((b-x)*(x-a))^(-0.5)
376 : ! 3, Gegenbauer, (a,b) ((b-x)*(x-a))^alpha
377 : ! 4, Jacobi, (a,b) (b-x)^alpha*(x-a)^beta
378 : ! 5, Generalized Laguerre, (a,inf) (x-a)^alpha*exp(-b*(x-a))
379 : ! 6, Generalized Hermite, (-inf,inf) |x-a|^alpha*exp(-b*(x-a)^2)
380 : ! 7, Exponential, (a,b) |x-(a+b)/2.0|^alpha
381 : ! 8, Rational, (a,inf) (x-a)^alpha*(x+b)^beta
382 : !
383 : ! Input, real ( dp ) ALPHA, the value of Alpha, if needed.
384 : !
385 : ! Input, real ( dp ) BETA, the value of Beta, if needed.
386 : !
387 : ! Output, real ( dp ) T(NT), the knots.
388 : !
389 : ! Output, real ( dp ) WTS(NT), the weights.
390 : !
391 : integer ( kind = 4 ) nt
392 :
393 98 : real ( dp ) aj(nt)
394 : real ( dp ) alpha
395 : real ( dp ) beta
396 98 : real ( dp ) bj(nt)
397 : integer ( kind = 4 ) gaussian_kind
398 : real ( dp ) t(nt)
399 : real ( dp ) wts(nt)
400 : real ( dp ) zemu
401 :
402 : ! *************************************************************************
403 :
404 49 : call parchk ( gaussian_kind, 2 * nt, alpha, beta )
405 : !
406 : ! Get the Jacobi matrix and zero-th moment.
407 : !
408 49 : call class_matrix ( gaussian_kind, nt, alpha, beta, aj, bj, zemu )
409 : !
410 : ! Compute the knots and weights.
411 : !
412 49 : call sgqf ( nt, aj, bj, zemu, t, wts )
413 :
414 49 : return
415 : end subroutine cdgqf
416 : !!***
417 :
418 : !!****f* m_hamiltonian/cgqf
419 : !! NAME
420 : !! cgqf
421 : !!
422 : !! FUNCTION
423 : !! .
424 : !!
425 : !! INPUTS
426 : !!
427 : !! OUTPUT
428 : !!
429 : !! SOURCE
430 :
431 49 : subroutine cgqf ( nt, gaussian_kind, alpha, beta, a, b, t, wts )
432 :
433 : !*****************************************************************************80
434 : !
435 : !! CGQF computes knots and weights of a Gauss quadrature formula.
436 : !
437 : ! Discussion:
438 : !
439 : ! The user may specify the interval (A,B).
440 : !
441 : ! Only simple knots are produced.
442 : !
443 : ! Use routine EIQFS to evaluate this quadrature formula.
444 : !
445 : ! Licensing:
446 : !
447 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
448 : !
449 : ! Modified:
450 : !
451 : ! 16 February 2010
452 : !
453 : ! Author:
454 : !
455 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
456 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
457 : !
458 : ! Reference:
459 : !
460 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
461 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
462 : ! Interpolatory Quadrature,
463 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
464 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
465 : !
466 : ! Parameters:
467 : !
468 : ! Input, integer ( kind = 4 ) NT, the number of knots.
469 : !
470 : ! Input, integer ( kind = 4 ) KIND, the rule.
471 : ! 1, Legendre, (a,b) 1.0
472 : ! 2, Chebyshev Type 1, (a,b) ((b-x)*(x-a))^-0.5)
473 : ! 3, Gegenbauer, (a,b) ((b-x)*(x-a))^alpha
474 : ! 4, Jacobi, (a,b) (b-x)^alpha*(x-a)^beta
475 : ! 5, Generalized Laguerre, (a,+oo) (x-a)^alpha*exp(-b*(x-a))
476 : ! 6, Generalized Hermite, (-oo,+oo) |x-a|^alpha*exp(-b*(x-a)^2)
477 : ! 7, Exponential, (a,b) |x-(a+b)/2.0|^alpha
478 : ! 8, Rational, (a,+oo) (x-a)^alpha*(x+b)^beta
479 : ! 9, Chebyshev Type 2, (a,b) ((b-x)*(x-a))^(+0.5)
480 : !
481 : ! Input, real ( dp ) ALPHA, the value of Alpha, if needed.
482 : !
483 : ! Input, real ( dp ) BETA, the value of Beta, if needed.
484 : !
485 : ! Input, real ( dp ) A, B, the interval endpoints, or
486 : ! other parameters.
487 : !
488 : ! Output, real ( dp ) T(NT), the knots.
489 : !
490 : ! Output, real ( dp ) WTS(NT), the weights.
491 : !
492 : integer ( kind = 4 ) nt
493 :
494 : real ( dp ) a
495 : real ( dp ) alpha
496 : real ( dp ) b
497 : real ( dp ) beta
498 : integer ( kind = 4 ) i
499 : integer ( kind = 4 ) gaussian_kind
500 49 : integer ( kind = 4 ), allocatable :: mlt(:)
501 49 : integer ( kind = 4 ), allocatable :: ndx(:)
502 : real ( dp ) t(nt)
503 : real ( dp ) wts(nt)
504 :
505 : ! *************************************************************************
506 :
507 : !
508 : ! Compute the Gauss quadrature formula for default values of A and B.
509 : !
510 49 : call cdgqf ( nt, gaussian_kind, alpha, beta, t, wts )
511 : !
512 : ! Prepare to scale the quadrature formula to other weight function with
513 : ! valid A and B.
514 : !
515 147 : ABI_MALLOC( mlt, (1:nt) )
516 :
517 5679 : mlt(1:nt) = 1
518 :
519 98 : ABI_MALLOC( ndx, (1:nt) )
520 :
521 5679 : do i = 1, nt
522 5679 : ndx(i) = i
523 : end do
524 :
525 49 : call scqf ( nt, t, mlt, wts, nt, ndx, wts, t, gaussian_kind, alpha, beta, a, b )
526 :
527 49 : ABI_FREE( mlt )
528 49 : ABI_FREE( ndx )
529 :
530 49 : return
531 : end subroutine cgqf
532 : !!***
533 :
534 : !!****f* m_hamiltonian/ch_cap
535 : !! NAME
536 : !! ch_cap
537 : !!
538 : !! FUNCTION
539 : !! .
540 : !!
541 : !! INPUTS
542 : !!
543 : !! OUTPUT
544 : !!
545 : !! SOURCE
546 :
547 : subroutine ch_cap ( c )
548 :
549 : !*****************************************************************************80
550 : !
551 : !! CH_CAP capitalizes a single character.
552 : !
553 : ! Licensing:
554 : !
555 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
556 : !
557 : ! Modified:
558 : !
559 : ! 19 July 1998
560 : !
561 : ! Author:
562 : !
563 : ! John Burkardt
564 : !
565 : ! Parameters:
566 : !
567 : ! Input/output, character C, the character to capitalize.
568 : !
569 : character c
570 : integer ( kind = 4 ) itemp
571 :
572 : ! *************************************************************************
573 :
574 : itemp = ichar ( c )
575 :
576 : if ( 97 <= itemp .and. itemp <= 122 ) then
577 : c = char ( itemp - 32 )
578 : end if
579 :
580 : return
581 : end subroutine ch_cap
582 : !!***
583 :
584 : !!****f* m_hamiltonian/ch_eqi
585 : !! NAME
586 : !! ch_eqi
587 : !!
588 : !! FUNCTION
589 : !! .
590 : !!
591 : !! INPUTS
592 : !!
593 : !! OUTPUT
594 : !!
595 : !!
596 : !!
597 : !! SOURCE
598 :
599 : function ch_eqi ( c1, c2 )
600 :
601 : !*****************************************************************************80
602 : !
603 : !! CH_EQI is a case insensitive comparison of two characters for equality.
604 : !
605 : ! Example:
606 : !
607 : ! CH_EQI ( 'A', 'a' ) is .TRUE.
608 : !
609 : ! Licensing:
610 : !
611 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
612 : !
613 : ! Modified:
614 : !
615 : ! 28 July 2000
616 : !
617 : ! Author:
618 : !
619 : ! John Burkardt
620 : !
621 : ! Parameters:
622 : !
623 : ! Input, character C1, C2, the characters to compare.
624 : !
625 : ! Output, logical CH_EQI, the result of the comparison.
626 : !
627 : logical ch_eqi
628 : character c1
629 : character c1_cap
630 : character c2
631 : character c2_cap
632 :
633 : ! *************************************************************************
634 :
635 : c1_cap = c1
636 : c2_cap = c2
637 :
638 : call ch_cap ( c1_cap )
639 : call ch_cap ( c2_cap )
640 :
641 : if ( c1_cap == c2_cap ) then
642 : ch_eqi = .true.
643 : else
644 : ch_eqi = .false.
645 : end if
646 :
647 : return
648 : end function ch_eqi
649 : !!***
650 :
651 : !!****f* m_hamiltonian/ch_to_digit
652 : !! NAME
653 : !! ch_to_digit
654 : !!
655 : !! FUNCTION
656 : !! .
657 : !!
658 : !! INPUTS
659 : !!
660 : !! OUTPUT
661 : !!
662 : !! SOURCE
663 :
664 : subroutine ch_to_digit ( c, digit )
665 :
666 : !*****************************************************************************80
667 : !
668 : !! CH_TO_DIGIT returns the integer value of a base 10 digit.
669 : !
670 : ! Example:
671 : !
672 : ! C DIGIT
673 : ! --- -----
674 : ! '0' 0
675 : ! '1' 1
676 : ! ... ...
677 : ! '9' 9
678 : ! ' ' 0
679 : ! 'X' -1
680 : !
681 : ! Licensing:
682 : !
683 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
684 : !
685 : ! Modified:
686 : !
687 : ! 04 August 1999
688 : !
689 : ! Author:
690 : !
691 : ! John Burkardt
692 : !
693 : ! Parameters:
694 : !
695 : ! Input, character C, the decimal digit, '0' through '9' or blank
696 : ! are legal.
697 : !
698 : ! Output, integer ( kind = 4 ) DIGIT, the corresponding integer value.
699 : ! If C was 'illegal', then DIGIT is -1.
700 : !
701 : character c
702 : integer ( kind = 4 ) digit
703 :
704 : ! *************************************************************************
705 :
706 : if ( lge ( c, '0' ) .and. lle ( c, '9' ) ) then
707 :
708 : digit = ichar ( c ) - 48
709 :
710 : else if ( c == ' ' ) then
711 :
712 : digit = 0
713 :
714 : else
715 :
716 : digit = -1
717 :
718 : end if
719 :
720 : return
721 : end subroutine ch_to_digit
722 : !!***
723 :
724 : !!****f* m_hamiltonian/class_matrix
725 : !! NAME
726 : !! class_matrix
727 : !!
728 : !! FUNCTION
729 : !! .
730 : !!
731 : !! INPUTS
732 : !!
733 : !! OUTPUT
734 : !!
735 : !! SOURCE
736 :
737 49 : subroutine class_matrix ( gaussian_kind, m, alpha, beta, aj, bj, zemu )
738 :
739 : !*****************************************************************************80
740 : !
741 : !! CLASS_MATRIX computes the Jacobi matrix for a quadrature rule.
742 : !
743 : ! Discussion:
744 : !
745 : ! This routine computes the diagonal AJ and sub-diagonal BJ
746 : ! elements of the order M tridiagonal symmetric Jacobi matrix
747 : ! associated with the polynomials orthogonal with respect to
748 : ! the weight function specified by KIND.
749 : !
750 : ! For weight functions 1-7, M elements are defined in BJ even
751 : ! though only M-1 are needed. For weight function 8, BJ(M) is
752 : ! set to zero.
753 : !
754 : ! The zero-th moment of the weight function is returned in ZEMU.
755 : !
756 : ! Licensing:
757 : !
758 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
759 : !
760 : ! Modified:
761 : !
762 : ! 27 December 2009
763 : !
764 : ! Author:
765 : !
766 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
767 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
768 : !
769 : ! Reference:
770 : !
771 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
772 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
773 : ! Interpolatory Quadrature,
774 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
775 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
776 : !
777 : ! Parameters:
778 : !
779 : ! Input, integer ( kind = 4 ) KIND, the rule.
780 : ! 1, Legendre, (a,b) 1.0
781 : ! 2, Chebyshev, (a,b) ((b-x)*(x-a))^(-0.5)
782 : ! 3, Gegenbauer, (a,b) ((b-x)*(x-a))^alpha
783 : ! 4, Jacobi, (a,b) (b-x)^alpha*(x-a)^beta
784 : ! 5, Generalized Laguerre, (a,inf) (x-a)^alpha*exp(-b*(x-a))
785 : ! 6, Generalized Hermite, (-inf,inf) |x-a|^alpha*exp(-b*(x-a)^2)
786 : ! 7, Exponential, (a,b) |x-(a+b)/2.0|^alpha
787 : ! 8, Rational, (a,inf) (x-a)^alpha*(x+b)^beta
788 : !
789 : ! Input, integer ( kind = 4 ) M, the order of the Jacobi matrix.
790 : !
791 : ! Input, real ( dp ) ALPHA, the value of Alpha, if needed.
792 : !
793 : ! Input, real ( dp ) BETA, the value of Beta, if needed.
794 : !
795 : ! Output, real ( dp ) AJ(M), BJ(M), the diagonal and subdiagonal
796 : ! of the Jacobi matrix.
797 : !
798 : ! Output, real ( dp ) ZEMU, the zero-th moment.
799 : !
800 : integer ( kind = 4 ) m
801 :
802 : real ( dp ) a2b2
803 : real ( dp ) ab
804 : real ( dp ) aba
805 : real ( dp ) abi
806 : real ( dp ) abj
807 : real ( dp ) abti
808 : real ( dp ) aj(m)
809 : real ( dp ) alpha
810 : real ( dp ) apone
811 : real ( dp ) beta
812 : real ( dp ) bj(m)
813 : integer ( kind = 4 ) i
814 : integer ( kind = 4 ) gaussian_kind
815 : real ( dp ), parameter :: pi = 3.14159265358979323846264338327950D+00
816 : real ( dp ) temp
817 : real ( dp ) temp2
818 : real ( dp ) zemu
819 :
820 : ! *************************************************************************
821 :
822 49 : temp = epsilon ( temp )
823 :
824 49 : call parchk ( gaussian_kind, 2 * m - 1, alpha, beta )
825 :
826 49 : temp2 = 0.5D+00
827 :
828 49 : if ( 500.0D+00 * temp < abs ( ( r8_gamma_gq ( temp2 ) )**2 - pi ) ) then
829 0 : ABI_ERROR('Gamma function does not match machine parameters.')
830 : end if
831 :
832 49 : if ( gaussian_kind == 1 ) then
833 :
834 49 : ab = 0.0D+00
835 :
836 49 : zemu = 2.0D+00 / ( ab + 1.0D+00 )
837 :
838 5679 : aj(1:m) = 0.0D+00
839 :
840 5679 : do i = 1, m
841 5630 : abi = i + ab * mod ( i, 2 )
842 5630 : abj = 2 * i + ab
843 5679 : bj(i) = abi * abi / ( abj * abj - 1.0D+00 )
844 : end do
845 5679 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
846 :
847 : else if ( gaussian_kind == 2 ) then
848 :
849 0 : zemu = pi
850 :
851 0 : aj(1:m) = 0.0D+00
852 :
853 0 : bj(1) = sqrt ( 0.5D+00 )
854 0 : bj(2:m) = 0.5D+00
855 :
856 : else if ( gaussian_kind == 3 ) then
857 :
858 0 : ab = alpha * 2.0D+00
859 : zemu = 2.0D+00**( ab + 1.0D+00 ) * r8_gamma_gq ( alpha + 1.0D+00 )**2 &
860 0 : / r8_gamma_gq ( ab + 2.0D+00 )
861 :
862 0 : aj(1:m) = 0.0D+00
863 0 : bj(1) = 1.0D+00 / ( 2.0D+00 * alpha + 3.0D+00 )
864 0 : do i = 2, m
865 0 : bj(i) = i * ( i + ab ) / ( 4.0D+00 * ( i + alpha )**2 - 1.0D+00 )
866 : end do
867 0 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
868 :
869 : else if ( gaussian_kind == 4 ) then
870 :
871 0 : ab = alpha + beta
872 0 : abi = 2.0D+00 + ab
873 : zemu = 2.0D+00**( ab + 1.0D+00 ) * r8_gamma_gq ( alpha + 1.0D+00 ) &
874 0 : * r8_gamma_gq ( beta + 1.0D+00 ) / r8_gamma_gq ( abi )
875 0 : aj(1) = ( beta - alpha ) / abi
876 : bj(1) = 4.0D+00 * ( 1.0 + alpha ) * ( 1.0D+00 + beta ) &
877 0 : / ( ( abi + 1.0D+00 ) * abi * abi )
878 0 : a2b2 = beta * beta - alpha * alpha
879 :
880 0 : do i = 2, m
881 0 : abi = 2.0D+00 * i + ab
882 0 : aj(i) = a2b2 / ( ( abi - 2.0D+00 ) * abi )
883 0 : abi = abi**2
884 : bj(i) = 4.0D+00 * i * ( i + alpha ) * ( i + beta ) * ( i + ab ) &
885 0 : / ( ( abi - 1.0D+00 ) * abi )
886 : end do
887 0 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
888 :
889 : else if ( gaussian_kind == 5 ) then
890 :
891 0 : zemu = r8_gamma_gq ( alpha + 1.0D+00 )
892 :
893 0 : do i = 1, m
894 0 : aj(i) = 2.0D+00 * i - 1.0D+00 + alpha
895 0 : bj(i) = i * ( i + alpha )
896 : end do
897 0 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
898 :
899 : else if ( gaussian_kind == 6 ) then
900 :
901 0 : zemu = r8_gamma_gq ( ( alpha + 1.0D+00 ) / 2.0D+00 )
902 :
903 0 : aj(1:m) = 0.0D+00
904 :
905 0 : do i = 1, m
906 0 : bj(i) = ( i + alpha * mod ( i, 2 ) ) / 2.0D+00
907 : end do
908 0 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
909 :
910 : else if ( gaussian_kind == 7 ) then
911 :
912 0 : ab = alpha
913 0 : zemu = 2.0D+00 / ( ab + 1.0D+00 )
914 :
915 0 : aj(1:m) = 0.0D+00
916 :
917 0 : do i = 1, m
918 0 : abi = i + ab * mod ( i, 2 )
919 0 : abj = 2 * i + ab
920 0 : bj(i) = abi * abi / ( abj * abj - 1.0D+00 )
921 : end do
922 0 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
923 :
924 : else if ( gaussian_kind == 8 ) then
925 :
926 0 : ab = alpha + beta
927 : zemu = r8_gamma_gq ( alpha + 1.0D+00 ) * r8_gamma_gq ( - ( ab + 1.0D+00 ) ) &
928 0 : / r8_gamma_gq ( - beta )
929 0 : apone = alpha + 1.0D+00
930 0 : aba = ab * apone
931 0 : aj(1) = - apone / ( ab + 2.0D+00 )
932 0 : bj(1) = - aj(1) * ( beta + 1.0D+00 ) / ( ab + 2.0D+00 ) / ( ab + 3.0D+00 )
933 0 : do i = 2, m
934 0 : abti = ab + 2.0D+00 * i
935 0 : aj(i) = aba + 2.0D+00 * ( ab + i ) * ( i - 1 )
936 0 : aj(i) = - aj(i) / abti / ( abti - 2.0D+00 )
937 : end do
938 :
939 0 : do i = 2, m - 1
940 0 : abti = ab + 2.0D+00 * i
941 : bj(i) = i * ( alpha + i ) / ( abti - 1.0D+00 ) * ( beta + i ) &
942 0 : / ( abti**2 ) * ( ab + i ) / ( abti + 1.0D+00 )
943 : end do
944 :
945 0 : bj(m) = 0.0D+00
946 0 : bj(1:m) = sqrt ( bj(1:m) )
947 :
948 : end if
949 :
950 49 : return
951 : end subroutine class_matrix
952 : !!***
953 :
954 : !!****f* m_hamiltonian/imtqlx
955 : !! NAME
956 : !! imtqlx
957 : !!
958 : !! FUNCTION
959 : !! .
960 : !!
961 : !! INPUTS
962 : !!
963 : !! OUTPUT
964 : !!
965 : !! SOURCE
966 :
967 49 : subroutine imtqlx ( n, d, e, z )
968 :
969 : !*****************************************************************************80
970 : !
971 : !! IMTQLX diagonalizes a symmetric tridiagonal matrix.
972 : !
973 : ! Discussion:
974 : !
975 : ! This routine is a slightly modified version of the EISPACK routine to
976 : ! perform the implicit QL algorithm on a symmetric tridiagonal matrix.
977 : !
978 : ! The authors thank the authors of EISPACK for permission to use this
979 : ! routine.
980 : !
981 : ! It has been modified to produce the product Q' * Z, where Z is an input
982 : ! vector and Q is the orthogonal matrix diagonalizing the input matrix.
983 : ! The changes consist (essentially) of applying the orthogonal
984 : ! transformations directly to Z as they are generated.
985 : !
986 : ! Licensing:
987 : !
988 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
989 : !
990 : ! Modified:
991 : !
992 : ! 27 December 2009
993 : !
994 : ! Author:
995 : !
996 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
997 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
998 : !
999 : ! Reference:
1000 : !
1001 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
1002 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
1003 : ! Interpolatory Quadrature,
1004 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
1005 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
1006 : !
1007 : ! Roger Martin, James Wilkinson,
1008 : ! The Implicit QL Algorithm,
1009 : ! Numerische Mathematik,
1010 : ! Volume 12, Number 5, December 1968, pages 377-383.
1011 : !
1012 : ! Parameters:
1013 : !
1014 : ! Input, integer ( kind = 4 ) N, the order of the matrix.
1015 : !
1016 : ! Input/output, real ( dp ) D(N), the diagonal entries of the matrix.
1017 : ! On output, the information in D has been overwritten.
1018 : !
1019 : ! Input/output, real ( dp ) E(N), the subdiagonal entries of the
1020 : ! matrix, in entries E(1) through E(N-1). On output, the information in
1021 : ! E has been overwritten.
1022 : !
1023 : ! Input/output, real ( dp ) Z(N). On input, a vector. On output,
1024 : ! the value of Q' * Z, where Q is the matrix that diagonalizes the
1025 : ! input symmetric tridiagonal matrix.
1026 : !
1027 : integer ( kind = 4 ) n
1028 :
1029 : real ( dp ) b
1030 : real ( dp ) c
1031 : real ( dp ) d(n)
1032 : real ( dp ) e(n)
1033 : real ( dp ) f
1034 : real ( dp ) g
1035 : integer ( kind = 4 ) i
1036 : integer ( kind = 4 ) ii
1037 : integer ( kind = 4 ), parameter :: itn = 30
1038 : integer ( kind = 4 ) j
1039 : integer ( kind = 4 ) k
1040 : integer ( kind = 4 ) l
1041 : integer ( kind = 4 ) m
1042 : integer ( kind = 4 ) mml
1043 : real ( dp ) p
1044 : real ( dp ) prec
1045 : real ( dp ) r
1046 : real ( dp ) s
1047 : real ( dp ) z(n)
1048 :
1049 : ! *************************************************************************
1050 :
1051 49 : prec = epsilon ( prec )
1052 :
1053 49 : if ( n == 1 ) then
1054 : return
1055 : end if
1056 :
1057 49 : e(n) = 0.0D+00
1058 :
1059 5679 : do l = 1, n
1060 :
1061 5630 : j = 0
1062 :
1063 49 : do
1064 :
1065 940897 : do m = l, n
1066 :
1067 940897 : if ( m == n ) then
1068 : exit
1069 : end if
1070 :
1071 940897 : if ( abs ( e(m) ) <= prec * ( abs ( d(m) ) + abs ( d(m+1) ) ) ) then
1072 : exit
1073 : end if
1074 :
1075 : end do
1076 :
1077 17184 : p = d(l)
1078 :
1079 17184 : if ( m == l ) then
1080 : exit
1081 : end if
1082 :
1083 11554 : if ( itn <= j ) then
1084 0 : write ( std_out, '(a)' ) ' '
1085 0 : write ( std_out, '(a)' ) 'IMTQLX - Fatal error!'
1086 0 : write ( std_out, '(a)' ) ' Iteration limit exceeded.'
1087 0 : write ( std_out, '(a,i8)' ) ' J = ', j
1088 0 : write ( std_out, '(a,i8)' ) ' L = ', l
1089 0 : write ( std_out, '(a,i8)' ) ' M = ', m
1090 0 : write ( std_out, '(a,i8)' ) ' N = ', n
1091 0 : ABI_ERROR("Aborting now")
1092 : end if
1093 :
1094 11554 : j = j + 1
1095 11554 : g = ( d(l+1) - p ) / ( 2.0D+00 * e(l) )
1096 11554 : r = sqrt ( g * g + 1.0D+00 )
1097 11554 : g = d(m) - p + e(l) / ( g + sign ( r, g ) )
1098 11554 : s = 1.0D+00
1099 11554 : c = 1.0D+00
1100 11554 : p = 0.0D+00
1101 11554 : mml = m - l
1102 :
1103 935267 : do ii = 1, mml
1104 :
1105 923713 : i = m - ii
1106 923713 : f = s * e(i)
1107 923713 : b = c * e(i)
1108 :
1109 923713 : if ( abs ( g ) <= abs ( f ) ) then
1110 202987 : c = g / f
1111 202987 : r = sqrt ( c * c + 1.0D+00 )
1112 202987 : e(i+1) = f * r
1113 202987 : s = 1.0D+00 / r
1114 202987 : c = c * s
1115 : else
1116 720726 : s = f / g
1117 720726 : r = sqrt ( s * s + 1.0D+00 )
1118 720726 : e(i+1) = g * r
1119 720726 : c = 1.0D+00 / r
1120 720726 : s = s * c
1121 : end if
1122 :
1123 923713 : g = d(i+1) - p
1124 923713 : r = ( d(i) - g ) * s + 2.0D+00 * c * b
1125 923713 : p = s * r
1126 923713 : d(i+1) = g + p
1127 923713 : g = c * r - b
1128 923713 : f = z(i+1)
1129 923713 : z(i+1) = s * z(i) + c * f
1130 935267 : z(i) = c * z(i) - s * f
1131 :
1132 : end do
1133 :
1134 11554 : d(l) = d(l) - p
1135 11554 : e(l) = g
1136 11554 : e(m) = 0.0D+00
1137 :
1138 : end do
1139 :
1140 : end do
1141 : !
1142 : ! Sorting.
1143 : !
1144 5630 : do ii = 2, n
1145 :
1146 5581 : i = ii - 1
1147 5581 : k = i
1148 5581 : p = d(i)
1149 :
1150 445916 : do j = ii, n
1151 445916 : if ( d(j) < p ) then
1152 24933 : k = j
1153 24933 : p = d(j)
1154 : end if
1155 : end do
1156 :
1157 5630 : if ( k /= i ) then
1158 1434 : d(k) = d(i)
1159 1434 : d(i) = p
1160 1434 : p = z(i)
1161 1434 : z(i) = z(k)
1162 1434 : z(k) = p
1163 : end if
1164 :
1165 : end do
1166 :
1167 : return
1168 : end subroutine imtqlx
1169 : !!***
1170 :
1171 : !!****f* m_hamiltonian/parchk
1172 : !! NAME
1173 : !! parchk
1174 : !!
1175 : !! FUNCTION
1176 : !! .
1177 : !!
1178 : !! INPUTS
1179 : !!
1180 : !! OUTPUT
1181 : !!
1182 : !! SOURCE
1183 :
1184 147 : subroutine parchk ( gaussian_kind, m, alpha, beta )
1185 :
1186 : !*****************************************************************************80
1187 : !
1188 : !! PARCHK checks parameters ALPHA and BETA for classical weight functions.
1189 : !
1190 : ! Licensing:
1191 : !
1192 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
1193 : !
1194 : ! Modified:
1195 : !
1196 : ! 27 December 2009
1197 : !
1198 : ! Author:
1199 : !
1200 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
1201 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
1202 : !
1203 : ! Reference:
1204 : !
1205 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
1206 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
1207 : ! Interpolatory Quadrature,
1208 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
1209 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
1210 : !
1211 : ! Parameters:
1212 : !
1213 : ! Input, integer ( kind = 4 ) KIND, the rule.
1214 : ! 1, Legendre, (a,b) 1.0
1215 : ! 2, Chebyshev, (a,b) ((b-x)*(x-a))^(-0.5)
1216 : ! 3, Gegenbauer, (a,b) ((b-x)*(x-a))^alpha
1217 : ! 4, Jacobi, (a,b) (b-x)^alpha*(x-a)^beta
1218 : ! 5, Generalized Laguerre, (a,inf) (x-a)^alpha*exp(-b*(x-a))
1219 : ! 6, Generalized Hermite, (-inf,inf) |x-a|^alpha*exp(-b*(x-a)^2)
1220 : ! 7, Exponential, (a,b) |x-(a+b)/2.0|^alpha
1221 : ! 8, Rational, (a,inf) (x-a)^alpha*(x+b)^beta
1222 : !
1223 : ! Input, integer ( kind = 4 ) M, the order of the highest moment to
1224 : ! be calculated. This value is only needed when KIND = 8.
1225 : !
1226 : ! Input, real ( dp ) ALPHA, BETA, the parameters, if required
1227 : ! by the value of KIND.
1228 : !
1229 : real ( dp ) alpha
1230 : real ( dp ) beta
1231 : integer ( kind = 4 ) gaussian_kind
1232 : integer ( kind = 4 ) m
1233 : real ( dp ) tmp
1234 :
1235 : ! *************************************************************************
1236 :
1237 147 : if ( gaussian_kind <= 0 ) then
1238 0 : ABI_ERROR('PARCHK - Fatal error: KIND <= 0.')
1239 : end if
1240 : !
1241 : ! Check ALPHA for Gegenbauer, Jacobi, Laguerre, Hermite, Exponential.
1242 : !
1243 147 : if ( 3 <= gaussian_kind .and. alpha <= -1.0D+00 ) then
1244 0 : ABI_ERROR('PARCHK - Fatal error! 3 <= KIND and ALPHA <= -1.')
1245 : end if
1246 : !
1247 : ! Check BETA for Jacobi.
1248 : !
1249 147 : if ( gaussian_kind == 4 .and. beta <= -1.0D+00 ) then
1250 0 : ABI_ERROR('PARCHK - Fatal error: KIND == 4 and BETA <= -1.0.')
1251 : end if
1252 : !
1253 : ! Check ALPHA and BETA for rational.
1254 : !
1255 147 : if ( gaussian_kind == 8 ) then
1256 0 : tmp = alpha + beta + m + 1.0D+00
1257 0 : if ( 0.0D+00 <= tmp .or. tmp <= beta ) then
1258 0 : ABI_ERROR('PARCHK - Fatal error! KIND == 8 but condition on ALPHA and BETA fails.')
1259 : end if
1260 : end if
1261 :
1262 147 : return
1263 : end subroutine parchk
1264 : !!***
1265 :
1266 :
1267 : !!****f* m_hamiltonian/r8_gamma_gq
1268 : !! NAME
1269 : !! r8_gamma_gq
1270 : !!
1271 : !! FUNCTION
1272 : !! .
1273 : !!
1274 : !! INPUTS
1275 : !!
1276 : !! OUTPUT
1277 : !!
1278 : !!
1279 : !!
1280 : !! SOURCE
1281 :
1282 49 : function r8_gamma_gq ( x )
1283 :
1284 : !*****************************************************************************80
1285 : !
1286 : !! R8_GAMMA evaluates Gamma(X) for a real argument.
1287 : !
1288 : ! Discussion:
1289 : !
1290 : ! This routine calculates the gamma function for a real argument X.
1291 : !
1292 : ! Computation is based on an algorithm outlined in reference 1.
1293 : ! The program uses rational functions that approximate the gamma
1294 : ! function to at least 20 significant decimal digits. Coefficients
1295 : ! for the approximation over the interval (1,2) are unpublished.
1296 : ! Those for the approximation for 12 <= X are from reference 2.
1297 : !
1298 : ! Licensing:
1299 : !
1300 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
1301 : !
1302 : ! Modified:
1303 : !
1304 : ! 11 February 2008
1305 : !
1306 : ! Author:
1307 : !
1308 : ! Original FORTRAN77 version by William Cody, Laura Stoltz.
1309 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
1310 : !
1311 : ! Reference:
1312 : !
1313 : ! William Cody,
1314 : ! An Overview of Software Development for Special Functions,
1315 : ! in Numerical Analysis Dundee, 1975,
1316 : ! edited by GA Watson,
1317 : ! Lecture Notes in Mathematics 506,
1318 : ! Springer, 1976.
1319 : !
1320 : ! John Hart, Ward Cheney, Charles Lawson, Hans Maehly,
1321 : ! Charles Mesztenyi, John Rice, Henry Thatcher,
1322 : ! Christoph Witzgall,
1323 : ! Computer Approximations,
1324 : ! Wiley, 1968,
1325 : ! LC: QA297.C64.
1326 : !
1327 : ! Parameters:
1328 : !
1329 : ! Input, real ( dp ) X, the argument of the function.
1330 : !
1331 : ! Output, real ( dp ) R8_GAMMA, the value of the function.
1332 : !
1333 : real ( dp ), dimension ( 7 ) :: c = (/ &
1334 : -1.910444077728D-03, &
1335 : 8.4171387781295D-04, &
1336 : -5.952379913043012D-04, &
1337 : 7.93650793500350248D-04, &
1338 : -2.777777777777681622553D-03, &
1339 : 8.333333333333333331554247D-02, &
1340 : 5.7083835261D-03 /)
1341 : real ( dp ), parameter :: eps = 2.22D-16
1342 : real ( dp ) fact
1343 : integer ( kind = 4 ) i
1344 : integer ( kind = 4 ) n
1345 : real ( dp ), dimension ( 8 ) :: p = (/ &
1346 : -1.71618513886549492533811D+00, &
1347 : 2.47656508055759199108314D+01, &
1348 : -3.79804256470945635097577D+02, &
1349 : 6.29331155312818442661052D+02, &
1350 : 8.66966202790413211295064D+02, &
1351 : -3.14512729688483675254357D+04, &
1352 : -3.61444134186911729807069D+04, &
1353 : 6.64561438202405440627855D+04 /)
1354 : logical parity
1355 : real ( dp ), parameter :: pi = 3.1415926535897932384626434D+00
1356 : real ( dp ), dimension ( 8 ) :: q = (/ &
1357 : -3.08402300119738975254353D+01, &
1358 : 3.15350626979604161529144D+02, &
1359 : -1.01515636749021914166146D+03, &
1360 : -3.10777167157231109440444D+03, &
1361 : 2.25381184209801510330112D+04, &
1362 : 4.75584627752788110767815D+03, &
1363 : -1.34659959864969306392456D+05, &
1364 : -1.15132259675553483497211D+05 /)
1365 : real ( dp ) r8_gamma_gq
1366 : real ( dp ) res
1367 : real ( dp ), parameter :: sqrtpi = 0.9189385332046727417803297D+00
1368 : real ( dp ) sum
1369 : real ( dp ) x
1370 : real ( dp ), parameter :: xbig = 171.624D+00
1371 : real ( dp ) xden
1372 : real ( dp ), parameter :: xinf = 1.0D+30
1373 : real ( dp ), parameter :: xminin = 2.23D-308
1374 : real ( dp ) xnum
1375 : real ( dp ) y
1376 : real ( dp ) y1
1377 : real ( dp ) ysq
1378 : real ( dp ) z
1379 :
1380 : ! *************************************************************************
1381 :
1382 49 : parity = .false.
1383 49 : fact = 1.0D+00
1384 49 : n = 0
1385 49 : y = x
1386 : !
1387 : ! Argument is negative.
1388 : !
1389 49 : if ( y <= 0.0D+00 ) then
1390 :
1391 0 : y = - x
1392 0 : y1 = aint ( y )
1393 0 : res = y - y1
1394 :
1395 0 : if (abs(res) > tol20) then !if ( res /= 0.0D+00 ) then
1396 :
1397 0 : if ( abs(y1 - aint ( y1 * 0.5D+00 ) * 2.0D+00) > tol20 ) then ! if ( y1 /= aint ( y1 * 0.5D+00 ) * 2.0D+00 ) then
1398 0 : parity = .true.
1399 : end if
1400 :
1401 0 : fact = - pi / sin ( pi * res )
1402 0 : y = y + 1.0D+00
1403 :
1404 : else
1405 :
1406 49 : res = xinf
1407 : r8_gamma_gq = res
1408 : return
1409 :
1410 : end if
1411 :
1412 : end if
1413 : !
1414 : ! Argument is positive.
1415 : !
1416 49 : if ( y < eps ) then
1417 : !
1418 : ! Argument < EPS.
1419 : !
1420 0 : if ( xminin <= y ) then
1421 0 : res = 1.0D+00 / y
1422 : else
1423 49 : res = xinf
1424 : r8_gamma_gq = res
1425 : return
1426 : end if
1427 :
1428 49 : else if ( y < 12.0D+00 ) then
1429 :
1430 49 : y1 = y
1431 : !
1432 : ! 0.0 < argument < 1.0.
1433 : !
1434 49 : if ( y < 1.0D+00 ) then
1435 :
1436 49 : z = y
1437 49 : y = y + 1.0D+00
1438 : !
1439 : ! 1.0 < argument < 12.0.
1440 : ! Reduce argument if necessary.
1441 : !
1442 : else
1443 :
1444 0 : n = int ( y ) - 1
1445 0 : y = y - real ( n, dp )
1446 0 : z = y - 1.0D+00
1447 :
1448 : end if
1449 : !
1450 : ! Evaluate approximation for 1.0 < argument < 2.0.
1451 : !
1452 49 : xnum = 0.0D+00
1453 49 : xden = 1.0D+00
1454 441 : do i = 1, 8
1455 392 : xnum = ( xnum + p(i) ) * z
1456 441 : xden = xden * z + q(i)
1457 : end do
1458 :
1459 49 : res = xnum / xden + 1.0D+00
1460 : !
1461 : ! Adjust result for case 0.0 < argument < 1.0.
1462 : !
1463 49 : if ( y1 < y ) then
1464 :
1465 49 : res = res / y1
1466 : !
1467 : ! Adjust result for case 2.0 < argument < 12.0.
1468 : !
1469 0 : else if ( y < y1 ) then
1470 :
1471 0 : do i = 1, n
1472 0 : res = res * y
1473 0 : y = y + 1.0D+00
1474 : end do
1475 :
1476 : end if
1477 :
1478 : else
1479 : !
1480 : ! Evaluate for 12.0 <= argument.
1481 : !
1482 0 : if ( y <= xbig ) then
1483 :
1484 0 : ysq = y * y
1485 0 : sum = c(7)
1486 0 : do i = 1, 6
1487 0 : sum = sum / ysq + c(i)
1488 : end do
1489 0 : sum = sum / y - y + sqrtpi
1490 0 : sum = sum + ( y - 0.5D+00 ) * log ( y )
1491 0 : res = exp ( sum )
1492 :
1493 : else
1494 :
1495 49 : res = xinf
1496 : r8_gamma_gq = res
1497 : return
1498 :
1499 : end if
1500 :
1501 : end if
1502 : !
1503 : ! Final adjustments and return.
1504 : !
1505 49 : if ( parity ) then
1506 0 : res = - res
1507 : end if
1508 :
1509 49 : if ( abs(fact - 1.0D+00) > tol20 ) then !if ( fact /= 1.0D+00 ) then
1510 0 : res = fact / res
1511 : end if
1512 :
1513 : r8_gamma_gq = res
1514 :
1515 : return
1516 : end function r8_gamma_gq
1517 : !!***
1518 :
1519 : !!****f* m_hamiltonian/r8mat_write
1520 : !! NAME
1521 : !! r8mat_write
1522 : !!
1523 : !! FUNCTION
1524 : !! .
1525 : !!
1526 : !! INPUTS
1527 : !!
1528 : !! OUTPUT
1529 : !!
1530 : !! SOURCE
1531 :
1532 : subroutine r8mat_write ( output_filename, m, n, table )
1533 :
1534 : !*****************************************************************************80
1535 : !
1536 : !! R8MAT_WRITE writes an R8MAT file.
1537 : !
1538 : ! Licensing:
1539 : !
1540 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
1541 : !
1542 : ! Modified:
1543 : !
1544 : ! 31 May 2009
1545 : !
1546 : ! Author:
1547 : !
1548 : ! John Burkardt
1549 : !
1550 : ! Parameters:
1551 : !
1552 : ! Input, character ( len = * ) OUTPUT_FILENAME, the output file name.
1553 : !
1554 : ! Input, integer ( kind = 4 ) M, the spatial dimension.
1555 : !
1556 : ! Input, integer ( kind = 4 ) N, the number of points.
1557 : !
1558 : ! Input, real ( dp ) TABLE(M,N), the table data.
1559 : !
1560 : integer ( kind = 4 ) m
1561 : integer ( kind = 4 ) n
1562 :
1563 : integer ( kind = 4 ) j
1564 : character ( len = * ) output_filename
1565 : character(len=500) :: msg
1566 : integer ( kind = 4 ) output_unit
1567 : character ( len = 30 ) string
1568 : real ( dp ) table(m,n)
1569 :
1570 : ! *************************************************************************
1571 :
1572 : !
1573 : ! Open the file.
1574 : !
1575 : if (open_file(output_filename, msg, newunit=output_unit, status='replace') /= 0) then
1576 : ABI_ERROR(msg)
1577 : end if
1578 :
1579 : !
1580 : ! Create a format string.
1581 : !
1582 : ! For less precision in the output file, try:
1583 : !
1584 : ! '(', m, 'g', 14, '.', 6, ')'
1585 : !
1586 : if ( 0 < m .and. 0 < n ) then
1587 :
1588 : write ( string, '(a1,i8,a1,i8,a1,i8,a1)' ) '(', m, 'g', 24, '.', 16, ')'
1589 : !
1590 : ! Write the data.
1591 : !
1592 : do j = 1, n
1593 : write ( output_unit, string ) table(1:m,j)
1594 : end do
1595 :
1596 : end if
1597 : !
1598 : ! Close the file.
1599 : !
1600 : close ( unit = output_unit )
1601 :
1602 : end subroutine r8mat_write
1603 : !!***
1604 :
1605 :
1606 : !!****f* m_hamiltonian/rule_write
1607 : !! NAME
1608 : !! rule_write
1609 : !!
1610 : !! FUNCTION
1611 : !! .
1612 : !!
1613 : !! INPUTS
1614 : !!
1615 : !! OUTPUT
1616 : !!
1617 : !! SOURCE
1618 :
1619 : subroutine rule_write ( order, x, w, r, filename )
1620 :
1621 : !*****************************************************************************80
1622 : !
1623 : !! RULE_WRITE writes a quadrature rule to a file.
1624 : !
1625 : ! Licensing:
1626 : !
1627 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
1628 : !
1629 : ! Modified:
1630 : !
1631 : ! 18 February 2010
1632 : !
1633 : ! Author:
1634 : !
1635 : ! John Burkardt
1636 : !
1637 : ! Parameters:
1638 : !
1639 : ! Input, integer ( kind = 4 ) ORDER, the order of the rule.
1640 : !
1641 : ! Input, real ( dp ) X(ORDER), the abscissas.
1642 : !
1643 : ! Input, real ( dp ) W(ORDER), the weights.
1644 : !
1645 : ! Input, real ( dp ) R(2), defines the region.
1646 : !
1647 : ! Input, character ( len = * ) FILENAME, specifies the output.
1648 : ! 'filename_w.txt', 'filename_x.txt', 'filename_r.txt' defining weights,
1649 : ! abscissas, and region.
1650 : !
1651 : integer ( kind = 4 ) order
1652 :
1653 : character ( len = * ) filename
1654 : character ( len = 255 ) filename_r
1655 : character ( len = 255 ) filename_w
1656 : character ( len = 255 ) filename_x
1657 : real ( dp ) r(2)
1658 : real ( dp ) w(order)
1659 : real ( dp ) x(order)
1660 :
1661 : ! *************************************************************************
1662 :
1663 : filename_w = trim ( filename ) // '_w.txt'
1664 : filename_x = trim ( filename ) // '_x.txt'
1665 : filename_r = trim ( filename ) // '_r.txt'
1666 :
1667 : write ( std_out, '(a)' ) ' '
1668 : write ( std_out, '(a)' ) ' Creating quadrature files.'
1669 : write ( std_out, '(a)' ) ' '
1670 : write ( std_out, '(a)' ) ' "Root" file name is "' // trim ( filename ) // '".'
1671 : write ( std_out, '(a)' ) ' '
1672 : write ( std_out, '(a)' ) ' Weight file will be "' // trim ( filename_w ) // '".'
1673 : write ( std_out, '(a)' ) ' Abscissa file will be "' // trim ( filename_x ) // '".'
1674 : write ( std_out, '(a)' ) ' Region file will be "' // trim ( filename_r ) // '".'
1675 :
1676 : call r8mat_write ( filename_w, 1, order, w )
1677 : call r8mat_write ( filename_x, 1, order, x )
1678 : call r8mat_write ( filename_r, 1, 2, r )
1679 :
1680 : return
1681 : end subroutine rule_write
1682 : !!***
1683 :
1684 :
1685 : !!****f* m_hamiltonian/s_to_i4
1686 : !! NAME
1687 : !! s_to_i4
1688 : !!
1689 : !! FUNCTION
1690 : !! .
1691 : !!
1692 : !! INPUTS
1693 : !!
1694 : !! OUTPUT
1695 : !!
1696 : !! SOURCE
1697 :
1698 : subroutine s_to_i4 ( s, ival, ierror, length )
1699 :
1700 : !*****************************************************************************80
1701 : !
1702 : !! S_TO_I4 reads an I4 from a string.
1703 : !
1704 : ! Licensing:
1705 : !
1706 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
1707 : !
1708 : ! Modified:
1709 : !
1710 : ! 28 June 2000
1711 : !
1712 : ! Author:
1713 : !
1714 : ! John Burkardt
1715 : !
1716 : ! Parameters:
1717 : !
1718 : ! Input, character ( len = * ) S, a string to be examined.
1719 : !
1720 : ! Output, integer ( kind = 4 ) IVAL, the integer value read from the string.
1721 : ! If the string is blank, then IVAL will be returned 0.
1722 : !
1723 : ! Output, integer ( kind = 4 ) IERROR, an error flag.
1724 : ! 0, no error.
1725 : ! 1, an error occurred.
1726 : !
1727 : ! Output, integer ( kind = 4 ) LENGTH, the number of characters of S
1728 : ! used to make IVAL.
1729 : !
1730 : character c
1731 : integer ( kind = 4 ) i
1732 : integer ( kind = 4 ) ierror
1733 : integer ( kind = 4 ) isgn
1734 : integer ( kind = 4 ) istate
1735 : integer ( kind = 4 ) ival
1736 : integer ( kind = 4 ) length
1737 : character ( len = * ) s
1738 :
1739 : ! *************************************************************************
1740 :
1741 : ierror = 0
1742 : istate = 0
1743 : isgn = 1
1744 : ival = 0
1745 :
1746 : do i = 1, len_trim ( s )
1747 :
1748 : c = s(i:i)
1749 : !
1750 : ! Haven't read anything.
1751 : !
1752 : if ( istate == 0 ) then
1753 :
1754 : if ( c == ' ' ) then
1755 :
1756 : else if ( c == '-' ) then
1757 : istate = 1
1758 : isgn = -1
1759 : else if ( c == '+' ) then
1760 : istate = 1
1761 : isgn = + 1
1762 : else if ( lle ( '0', c ) .and. lle ( c, '9' ) ) then
1763 : istate = 2
1764 : ival = ichar ( c ) - ichar ( '0' )
1765 : else
1766 : ierror = 1
1767 : return
1768 : end if
1769 : !
1770 : ! Have read the sign, expecting digits.
1771 : !
1772 : else if ( istate == 1 ) then
1773 :
1774 : if ( c == ' ' ) then
1775 :
1776 : else if ( lle ( '0', c ) .and. lle ( c, '9' ) ) then
1777 : istate = 2
1778 : ival = ichar ( c ) - ichar ( '0' )
1779 : else
1780 : ierror = 1
1781 : return
1782 : end if
1783 : !
1784 : ! Have read at least one digit, expecting more.
1785 : !
1786 : else if ( istate == 2 ) then
1787 :
1788 : if ( lle ( '0', c ) .and. lle ( c, '9' ) ) then
1789 : ival = 10 * ival + ichar ( c ) - ichar ( '0' )
1790 : else
1791 : ival = isgn * ival
1792 : length = i - 1
1793 : return
1794 : end if
1795 :
1796 : end if
1797 :
1798 : end do
1799 : !
1800 : ! If we read all the characters in the string, see if we're OK.
1801 : !
1802 : if ( istate == 2 ) then
1803 : ival = isgn * ival
1804 : length = len_trim ( s )
1805 : else
1806 : ierror = 1
1807 : length = 0
1808 : end if
1809 :
1810 : return
1811 : end subroutine s_to_i4
1812 : !!***
1813 :
1814 : !!****f* m_hamiltonian/s_to_r8
1815 : !! NAME
1816 : !! s_to_r8
1817 : !!
1818 : !! FUNCTION
1819 : !! .
1820 : !!
1821 : !! INPUTS
1822 : !!
1823 : !! OUTPUT
1824 : !!
1825 : !! SOURCE
1826 :
1827 : subroutine s_to_r8 ( s, dval, ierror, length )
1828 :
1829 : !*****************************************************************************80
1830 : !
1831 : !! S_TO_R8 reads an R8 from a string.
1832 : !
1833 : ! Discussion:
1834 : !
1835 : ! The routine will read as many characters as possible until it reaches
1836 : ! the end of the string, or encounters a character which cannot be
1837 : ! part of the number.
1838 : !
1839 : ! Legal input is:
1840 : !
1841 : ! 1 blanks,
1842 : ! 2 '+' or '-' sign,
1843 : ! 2.5 blanks
1844 : ! 3 integer part,
1845 : ! 4 decimal point,
1846 : ! 5 fraction part,
1847 : ! 6 'E' or 'e' or 'D' or 'd', exponent marker,
1848 : ! 7 exponent sign,
1849 : ! 8 exponent integer part,
1850 : ! 9 exponent decimal point,
1851 : ! 10 exponent fraction part,
1852 : ! 11 blanks,
1853 : ! 12 final comma or semicolon,
1854 : !
1855 : ! with most quantities optional.
1856 : !
1857 : ! Example:
1858 : !
1859 : ! S DVAL
1860 : !
1861 : ! '1' 1.0
1862 : ! ' 1 ' 1.0
1863 : ! '1A' 1.0
1864 : ! '12,34,56' 12.0
1865 : ! ' 34 7' 34.0
1866 : ! '-1E2ABCD' -100.0
1867 : ! '-1X2ABCD' -1.0
1868 : ! ' 2E-1' 0.2
1869 : ! '23.45' 23.45
1870 : ! '-4.2E+2' -420.0
1871 : ! '17d2' 1700.0
1872 : ! '-14e-2' -0.14
1873 : ! 'e2' 100.0
1874 : ! '-12.73e-9.23' -12.73 * 10.0**(-9.23)
1875 : !
1876 : ! Licensing:
1877 : !
1878 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
1879 : !
1880 : ! Modified:
1881 : !
1882 : ! 07 September 2004
1883 : !
1884 : ! Author:
1885 : !
1886 : ! John Burkardt
1887 : !
1888 : ! Parameters:
1889 : !
1890 : ! Input, character ( len = * ) S, the string containing the
1891 : ! data to be read. Reading will begin at position 1 and
1892 : ! terminate at the end of the string, or when no more
1893 : ! characters can be read to form a legal real. Blanks,
1894 : ! commas, or other nonnumeric data will, in particular,
1895 : ! cause the conversion to halt.
1896 : !
1897 : ! Output, real ( dp ) DVAL, the value read from the string.
1898 : !
1899 : ! Output, integer ( kind = 4 ) IERROR, error flag.
1900 : ! 0, no errors occurred.
1901 : ! 1, 2, 6 or 7, the input number was garbled. The
1902 : ! value of IERROR is the last type of input successfully
1903 : ! read. For instance, 1 means initial blanks, 2 means
1904 : ! a plus or minus sign, and so on.
1905 : !
1906 : ! Output, integer ( kind = 4 ) LENGTH, the number of characters read
1907 : ! to form the number, including any terminating
1908 : ! characters such as a trailing comma or blanks.
1909 : !
1910 : character c
1911 : real ( dp ) dval
1912 : integer ( kind = 4 ) ierror
1913 : integer ( kind = 4 ) ihave
1914 : integer ( kind = 4 ) isgn
1915 : integer ( kind = 4 ) iterm
1916 : integer ( kind = 4 ) jbot
1917 : integer ( kind = 4 ) jsgn
1918 : integer ( kind = 4 ) jtop
1919 : integer ( kind = 4 ) length
1920 : integer ( kind = 4 ) nchar
1921 : integer ( kind = 4 ) ndig
1922 : real ( dp ) rbot
1923 : real ( dp ) rexp
1924 : real ( dp ) rtop
1925 : character ( len = * ) s
1926 :
1927 : ! *************************************************************************
1928 :
1929 : nchar = len_trim ( s )
1930 :
1931 : ierror = 0
1932 : dval = 0.0D+00
1933 : length = -1
1934 : isgn = 1
1935 : rtop = 0
1936 : rbot = 1
1937 : jsgn = 1
1938 : jtop = 0
1939 : jbot = 1
1940 : ihave = 1
1941 : iterm = 0
1942 :
1943 : do
1944 :
1945 : length = length + 1
1946 :
1947 : if ( nchar < length+1 ) then
1948 : exit
1949 : end if
1950 :
1951 : c = s(length+1:length+1)
1952 : !
1953 : ! Blank character.
1954 : !
1955 : if ( c == ' ' ) then
1956 :
1957 : if ( ihave == 2 ) then
1958 :
1959 : else if ( ihave == 6 .or. ihave == 7 ) then
1960 : iterm = 1
1961 : else if ( 1 < ihave ) then
1962 : ihave = 11
1963 : end if
1964 : !
1965 : ! Comma.
1966 : !
1967 : else if ( c == ',' .or. c == ';' ) then
1968 :
1969 : if ( ihave /= 1 ) then
1970 : iterm = 1
1971 : ihave = 12
1972 : length = length + 1
1973 : end if
1974 : !
1975 : ! Minus sign.
1976 : !
1977 : else if ( c == '-' ) then
1978 :
1979 : if ( ihave == 1 ) then
1980 : ihave = 2
1981 : isgn = -1
1982 : else if ( ihave == 6 ) then
1983 : ihave = 7
1984 : jsgn = -1
1985 : else
1986 : iterm = 1
1987 : end if
1988 : !
1989 : ! Plus sign.
1990 : !
1991 : else if ( c == '+' ) then
1992 :
1993 : if ( ihave == 1 ) then
1994 : ihave = 2
1995 : else if ( ihave == 6 ) then
1996 : ihave = 7
1997 : else
1998 : iterm = 1
1999 : end if
2000 : !
2001 : ! Decimal point.
2002 : !
2003 : else if ( c == '.' ) then
2004 :
2005 : if ( ihave < 4 ) then
2006 : ihave = 4
2007 : else if ( 6 <= ihave .and. ihave <= 8 ) then
2008 : ihave = 9
2009 : else
2010 : iterm = 1
2011 : end if
2012 : !
2013 : ! Scientific notation exponent marker.
2014 : !
2015 : else if ( ch_eqi ( c, 'E' ) .or. ch_eqi ( c, 'D' ) ) then
2016 :
2017 : if ( ihave < 6 ) then
2018 : ihave = 6
2019 : else
2020 : iterm = 1
2021 : end if
2022 : !
2023 : ! Digit.
2024 : !
2025 : else if ( ihave < 11 .and. lle ( '0', c ) .and. lle ( c, '9' ) ) then
2026 :
2027 : if ( ihave <= 2 ) then
2028 : ihave = 3
2029 : else if ( ihave == 4 ) then
2030 : ihave = 5
2031 : else if ( ihave == 6 .or. ihave == 7 ) then
2032 : ihave = 8
2033 : else if ( ihave == 9 ) then
2034 : ihave = 10
2035 : end if
2036 :
2037 : call ch_to_digit ( c, ndig )
2038 :
2039 : if ( ihave == 3 ) then
2040 : rtop = 10.0D+00 * rtop + real ( ndig, dp )
2041 : else if ( ihave == 5 ) then
2042 : rtop = 10.0D+00 * rtop + real ( ndig, dp )
2043 : rbot = 10.0D+00 * rbot
2044 : else if ( ihave == 8 ) then
2045 : jtop = 10 * jtop + ndig
2046 : else if ( ihave == 10 ) then
2047 : jtop = 10 * jtop + ndig
2048 : jbot = 10 * jbot
2049 : end if
2050 : !
2051 : ! Anything else is regarded as a terminator.
2052 : !
2053 : else
2054 : iterm = 1
2055 : end if
2056 : !
2057 : ! If we haven't seen a terminator, and we haven't examined the
2058 : ! entire string, go get the next character.
2059 : !
2060 : if ( iterm == 1 ) then
2061 : exit
2062 : end if
2063 :
2064 : end do
2065 : !
2066 : ! If we haven't seen a terminator, and we have examined the
2067 : ! entire string, then we're done, and LENGTH is equal to NCHAR.
2068 : !
2069 : if ( iterm /= 1 .and. length+1 == nchar ) then
2070 : length = nchar
2071 : end if
2072 : !
2073 : ! Number seems to have terminated. Have we got a legal number?
2074 : ! Not if we terminated in states 1, 2, 6 or 7!
2075 : !
2076 : if ( ihave == 1 .or. ihave == 2 .or. ihave == 6 .or. ihave == 7 ) then
2077 : ierror = ihave
2078 : write ( std_out, '(a)' ) ' '
2079 : write ( std_out, '(a)' ) 'S_TO_R8 - Serious error!'
2080 : write ( std_out, '(a)' ) ' Illegal or nonnumeric input:'
2081 : write ( std_out, '(a)' ) ' ' // trim ( s )
2082 : return
2083 : end if
2084 : !
2085 : ! Number seems OK. Form it.
2086 : !
2087 : if ( jtop == 0 ) then
2088 : rexp = 1.0D+00
2089 : else
2090 : if ( jbot == 1 ) then
2091 : rexp = 10.0D+00 ** ( jsgn * jtop )
2092 : else
2093 : rexp = 10.0D+00 ** ( real ( jsgn * jtop, dp ) &
2094 : / real ( jbot, dp ) )
2095 : end if
2096 : end if
2097 :
2098 : dval = real ( isgn, dp ) * rexp * rtop / rbot
2099 :
2100 : return
2101 : end subroutine s_to_r8
2102 : !!***
2103 :
2104 : !!****f* m_hamiltonian/scqf
2105 : !! NAME
2106 : !! scqf
2107 : !!
2108 : !! FUNCTION
2109 : !! .
2110 : !!
2111 : !! INPUTS
2112 : !!
2113 : !! OUTPUT
2114 : !!
2115 : !! SOURCE
2116 :
2117 49 : subroutine scqf ( nt, t, mlt, wts, nwts, ndx, swts, st, gaussian_kind, alpha, beta, a, &
2118 : b )
2119 :
2120 : !*****************************************************************************80
2121 : !
2122 : !! SCQF scales a quadrature formula to a nonstandard interval.
2123 : !
2124 : ! Discussion:
2125 : !
2126 : ! The arrays WTS and SWTS may coincide.
2127 : !
2128 : ! The arrays T and ST may coincide.
2129 : !
2130 : ! Licensing:
2131 : !
2132 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
2133 : !
2134 : ! Modified:
2135 : !
2136 : ! 27 December 2009
2137 : !
2138 : ! Author:
2139 : !
2140 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
2141 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
2142 : !
2143 : ! Reference:
2144 : !
2145 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
2146 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
2147 : ! Interpolatory Quadrature,
2148 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
2149 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
2150 : !
2151 : ! Parameters:
2152 : !
2153 : ! Input, integer ( kind = 4 ) NT, the number of knots.
2154 : !
2155 : ! Input, real ( dp ) T(NT), the original knots.
2156 : !
2157 : ! Input, integer ( kind = 4 ) MLT(NT), the multiplicity of the knots.
2158 : !
2159 : ! Input, real ( dp ) WTS(NWTS), the weights.
2160 : !
2161 : ! Input, integer ( kind = 4 ) NWTS, the number of weights.
2162 : !
2163 : ! Input, integer ( kind = 4 ) NDX(NT), used to index the array WTS.
2164 : ! For more details see the comments in CAWIQ.
2165 : !
2166 : ! Output, real ( dp ) SWTS(NWTS), the scaled weights.
2167 : !
2168 : ! Output, real ( dp ) ST(NT), the scaled knots.
2169 : !
2170 : ! Input, integer ( kind = 4 ) KIND, the rule.
2171 : ! 1, Legendre, (a,b) 1.0
2172 : ! 2, Chebyshev Type 1, (a,b) ((b-x)*(x-a))^(-0.5)
2173 : ! 3, Gegenbauer, (a,b) ((b-x)*(x-a))^alpha
2174 : ! 4, Jacobi, (a,b) (b-x)^alpha*(x-a)^beta
2175 : ! 5, Generalized Laguerre, (a,+oo) (x-a)^alpha*exp(-b*(x-a))
2176 : ! 6, Generalized Hermite, (-oo,+oo) |x-a|^alpha*exp(-b*(x-a)^2)
2177 : ! 7, Exponential, (a,b) |x-(a+b)/2.0|^alpha
2178 : ! 8, Rational, (a,+oo) (x-a)^alpha*(x+b)^beta
2179 : ! 9, Chebyshev Type 2, (a,b) ((b-x)*(x-a))^(+0.5)
2180 : !
2181 : ! Input, real ( dp ) ALPHA, the value of Alpha, if needed.
2182 : !
2183 : ! Input, real ( dp ) BETA, the value of Beta, if needed.
2184 : !
2185 : ! Input, real ( dp ) A, B, the interval endpoints.
2186 : !
2187 : integer ( kind = 4 ) nt
2188 : integer ( kind = 4 ) nwts
2189 :
2190 : real ( dp ) a
2191 : real ( dp ) al
2192 : real ( dp ) alpha
2193 : real ( dp ) b
2194 : real ( dp ) be
2195 : real ( dp ) beta
2196 : integer ( kind = 4 ) i
2197 : integer ( kind = 4 ) k
2198 : integer ( kind = 4 ) gaussian_kind
2199 : integer ( kind = 4 ) l
2200 : integer ( kind = 4 ) mlt(nt)
2201 : integer ( kind = 4 ) ndx(nt)
2202 : real ( dp ) p
2203 : real ( dp ) shft
2204 : real ( dp ) slp
2205 : real ( dp ) st(nt)
2206 : real ( dp ) swts(nwts)
2207 : real ( dp ) t(nt)
2208 : real ( dp ) temp
2209 : real ( dp ) tmp
2210 : real ( dp ) wts(nwts)
2211 :
2212 : ! *************************************************************************
2213 :
2214 49 : temp = epsilon ( temp )
2215 :
2216 49 : call parchk ( gaussian_kind, 1, alpha, beta )
2217 :
2218 49 : if ( gaussian_kind == 1 ) then
2219 :
2220 49 : al = 0.0D+00
2221 49 : be = 0.0D+00
2222 :
2223 49 : if ( abs ( b - a ) <= temp ) then
2224 0 : ABI_ERROR('SCQF - Fatal error! |B - A| too small.')
2225 : end if
2226 :
2227 49 : shft = ( a + b ) / 2.0D+00
2228 49 : slp = ( b - a ) / 2.0D+00
2229 :
2230 : else if ( gaussian_kind == 2 ) then
2231 :
2232 0 : al = -0.5D+00
2233 0 : be = -0.5D+00
2234 :
2235 0 : if ( abs ( b - a ) <= temp ) then
2236 0 : ABI_ERROR('SCQF - Fatal error! |B - A| too small.')
2237 : end if
2238 :
2239 0 : shft = ( a + b ) / 2.0D+00
2240 0 : slp = ( b - a ) / 2.0D+00
2241 :
2242 : else if ( gaussian_kind == 3 ) then
2243 :
2244 0 : al = alpha
2245 0 : be = alpha
2246 :
2247 0 : if ( abs ( b - a ) <= temp ) then
2248 0 : ABI_ERROR('SCQF - Fatal error! |B - A| too small.')
2249 : end if
2250 :
2251 0 : shft = ( a + b ) / 2.0D+00
2252 0 : slp = ( b - a ) / 2.0D+00
2253 :
2254 : else if ( gaussian_kind == 4 ) then
2255 :
2256 0 : al = alpha
2257 0 : be = beta
2258 :
2259 0 : if ( abs ( b - a ) <= temp ) then
2260 0 : ABI_ERROR("SCQF - Fatal error! |B - A| too small.")
2261 : end if
2262 :
2263 0 : shft = ( a + b ) / 2.0D+00
2264 0 : slp = ( b - a ) / 2.0D+00
2265 :
2266 : else if ( gaussian_kind == 5 ) then
2267 :
2268 0 : if ( b <= 0.0D+00 ) then
2269 0 : ABI_ERROR('SCQF - Fatal error! B <= 0')
2270 : end if
2271 :
2272 0 : shft = a
2273 0 : slp = 1.0D+00 / b
2274 0 : al = alpha
2275 0 : be = 0.0D+00
2276 :
2277 : else if ( gaussian_kind == 6 ) then
2278 :
2279 0 : if ( b <= 0.0D+00 ) then
2280 0 : ABI_ERROR('SCQF - Fatal error! B <= 0.')
2281 : end if
2282 :
2283 0 : shft = a
2284 0 : slp = 1.0D+00 / sqrt ( b )
2285 0 : al = alpha
2286 0 : be = 0.0D+00
2287 :
2288 : else if ( gaussian_kind == 7 ) then
2289 :
2290 0 : al = alpha
2291 0 : be = 0.0D+00
2292 :
2293 0 : if ( abs ( b - a ) <= temp ) then
2294 0 : ABI_ERROR('|B - A| too small.')
2295 : end if
2296 :
2297 0 : shft = ( a + b ) / 2.0D+00
2298 0 : slp = ( b - a ) / 2.0D+00
2299 :
2300 : else if ( gaussian_kind == 8 ) then
2301 :
2302 0 : if ( a + b <= 0.0D+00 ) then
2303 0 : ABI_ERROR(' A + B <= 0.')
2304 : end if
2305 :
2306 0 : shft = a
2307 0 : slp = a + b
2308 0 : al = alpha
2309 0 : be = beta
2310 :
2311 : else if ( gaussian_kind == 9 ) then
2312 :
2313 0 : al = 0.5D+00
2314 0 : be = 0.5D+00
2315 :
2316 0 : if ( abs ( b - a ) <= temp ) then
2317 0 : ABI_ERROR('|B - A| too small.')
2318 : end if
2319 :
2320 0 : shft = ( a + b ) / 2.0D+00
2321 0 : slp = ( b - a ) / 2.0D+00
2322 :
2323 : end if
2324 :
2325 49 : p = slp**( al + be + 1.0D+00 )
2326 :
2327 5679 : do k = 1, nt
2328 :
2329 5630 : st(k) = shft + slp * t(k)
2330 5630 : l = abs ( ndx(k) )
2331 :
2332 5679 : if ( l /= 0 ) then
2333 5630 : tmp = p
2334 11260 : do i = l, l + mlt(k) - 1
2335 5630 : swts(i) = wts(i) * tmp
2336 11260 : tmp = tmp * slp
2337 : end do
2338 : end if
2339 :
2340 : end do
2341 :
2342 49 : return
2343 : end subroutine scqf
2344 : !!***
2345 :
2346 :
2347 : !!****f* m_hamiltonian/sgqf
2348 : !! NAME
2349 : !! sgqf
2350 : !!
2351 : !! FUNCTION
2352 : !! .
2353 : !!
2354 : !! INPUTS
2355 : !!
2356 : !! OUTPUT
2357 : !!
2358 : !! SOURCE
2359 :
2360 49 : subroutine sgqf ( nt, aj, bj, zemu, t, wts )
2361 :
2362 : !*****************************************************************************80
2363 : !
2364 : !! SGQF computes knots and weights of a Gauss Quadrature formula.
2365 : !
2366 : ! Discussion:
2367 : !
2368 : ! This routine computes all the knots and weights of a Gauss quadrature
2369 : ! formula with simple knots from the Jacobi matrix and the zero-th
2370 : ! moment of the weight function, using the Golub-Welsch technique.
2371 : !
2372 : ! Licensing:
2373 : !
2374 : ! This code is distributed under the GNU LGPL license.
2375 : !
2376 : ! Modified:
2377 : !
2378 : ! 04 January 2010
2379 : !
2380 : ! Author:
2381 : !
2382 : ! Original FORTRAN77 version by Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky.
2383 : ! FORTRAN90 version by John Burkardt.
2384 : !
2385 : ! Reference:
2386 : !
2387 : ! Sylvan Elhay, Jaroslav Kautsky,
2388 : ! Algorithm 655: IQPACK, FORTRAN Subroutines for the Weights of
2389 : ! Interpolatory Quadrature,
2390 : ! ACM Transactions on Mathematical Software,
2391 : ! Volume 13, Number 4, December 1987, pages 399-415.
2392 : !
2393 : ! Parameters:
2394 : !
2395 : ! Input, integer ( kind = 4 ) NT, the number of knots.
2396 : !
2397 : ! Input, real ( dp ) AJ(NT), the diagonal of the Jacobi matrix.
2398 : !
2399 : ! Input/output, real ( dp ) BJ(NT), the subdiagonal of the Jacobi
2400 : ! matrix, in entries 1 through NT-1. On output, BJ has been overwritten.
2401 : !
2402 : ! Input, real ( dp ) ZEMU, the zero-th moment of the weight function.
2403 : !
2404 : ! Output, real ( dp ) T(NT), the knots.
2405 : !
2406 : ! Output, real ( dp ) WTS(NT), the weights.
2407 : !
2408 : integer ( kind = 4 ) nt
2409 :
2410 : real ( dp ) aj(nt)
2411 : real ( dp ) bj(nt)
2412 : real ( dp ) t(nt)
2413 : real ( dp ) wts(nt)
2414 : real ( dp ) zemu
2415 :
2416 : ! *************************************************************************
2417 :
2418 : !
2419 : ! Exit if the zero-th moment is not positive.
2420 : !
2421 49 : if ( zemu <= 0.0D+00 ) then
2422 0 : ABI_ERROR('SGQF - Fatal error! ZEMU <= 0.')
2423 : end if
2424 : !
2425 : ! Set up vectors for IMTQLX.
2426 : !
2427 5679 : t(1:nt) = aj(1:nt)
2428 :
2429 49 : wts(1) = sqrt ( zemu )
2430 5630 : wts(2:nt) = 0.0D+00
2431 : !
2432 : ! Diagonalize the Jacobi matrix.
2433 : !
2434 49 : call imtqlx ( nt, t, bj, wts )
2435 :
2436 5679 : wts(1:nt) = wts(1:nt)**2
2437 :
2438 49 : return
2439 : end subroutine sgqf
2440 : !!***
2441 :
2442 : end module m_gaussian_quadrature
2443 : !!***
|
